简单的不等式推导

$$(1+\frac{1}{n})^{n}<3(n=1,2,\cdots)$$ 此题即证明e小于3。 证明： 用二项式定理展开 $$(1+\frac{1}{n})^n=C_n^n+C_n^{n-1}\frac{1}{n}+C_n^{n-2}\frac{1}{n^2}+\cdots+C_n^0\frac{1}{n^n}$$ 进行一次小的变换 $$=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+\cdots+C_n^0\frac{1}{n^n}$$ 将所有组合数展开 $$=1+1+\frac{n!}{2!(n-2)!}*\frac{1}{n^2}+\frac{n!}{3!(n-3)!}*\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$$ 将各项分母中阶乘项分离 $$=1+1+\frac{1}{2!}*\frac{n!}{n^2(n-2)!}+\frac{1}{3!}*\frac{n!}{n^3(n-3)!}+\cdots+\frac{1}{n^n}$$ 明显其中$$\frac{n!}{n^k(n-k)!}=\overbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}^{共k项}<1$$ 故 $$(1+\frac{1}{n})^{n}<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}<3$$ 得证。